KPK DAN FPB

0

FPB dan KPK

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

 

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan

 

Cara mencari FPB


Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh

Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24

Faktor 18  =  {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 =  { 1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 =  6

Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120

 

Faktor 75  =  {1, 3, 5, 15, 25, 75}

Faktor 120            =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Faktor persekutuan dari 75 dan 120  =  {1, 3, 4, 15}

FPB dari 75 dan 120  =  15

Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

 

Faktor 36  =  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Faktor 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}

Faktor 72  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Faktor persekutuan dari 36 dan 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 12}

FPB dari 36 dan 48  =  12


 

Menggunakan Pohon Faktor

  • Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
  • Tulis faktorisasi primanya.
  • Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
  • Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.Contoh


    Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30


      • 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
      • Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
      • Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
      • Maka FPB =  2 X 5  =  10


    Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

     




     




     

     

    • 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
    • Pangkat terendah dari 2 adalah 2.
    • Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
    • Maka FPB =  22 X 3 =  12

    Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

     

     

    • 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.
    • Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
    • Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
    • Maka FPB =  2 X 3 =  6

     

     

    Menggunakan Tabel

     

    • Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
    • Beri tanda faktor prima yang sama.

     

    Contoh

    Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

     

     


    21 35
    3 7 5
    5 7 1
    7 1 1



    FPB  =  3

    Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

    KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

     

    KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan

     

    Cara mencari KPK

    Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan

     

     

    Contoh :

    a.          Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12

    Kelipatan 8     =  {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}

    Kelipatan 12               =  {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}

    Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12  =  { 24, 48, …}

    KPK dari 8 dan 12 =  24


     

    b.         Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20

    Kelipatan 15            =  {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

    Kelipatan 20            =  {20, 40, 60, 80, 100,120, …}

    Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20  =  {60, 120, ….}

    KPK dari 15 dan 20 =  60


     

    c.          Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10

    Kelipatan 6      =  {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}

    Kelipatan 8      =  {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}

    Kelipatan 12   =  {12, 24, 36, 48, 60, …}

    Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12  =  {24, 48, …}

    KPK dari 6, 8 dan 12  =  24

     

    Menggunakan Pohon Faktor

     

    • Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.
    • Tulis faktorisasi primanya.
    • Kalikan semua faktorisasi prima
    • Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.

     

    Contoh :

    Tentukan KPK dari bilangan 10 dan 15

    • 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
    • Pangkat tertinggi 5 adalah 1
    • Maka KPK =  2 X 3 X 5 =  30

    Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 30

     

     

     

    • 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
    • Pangkat tertinggi 2 adalah 2.
    • Pangkat tertinggi 3 adalah 1.
    • Maka KPK = 22 X 3 X 5  =  60
Advertisements

Statistika

0

STATISTIKA

A.     Tahukah kamu….?

Pada mulanya statistika dipergunakan oleh “Caesar Augustus” pada zaman Romawi untuk memperoleh keteerangan-keterangan yang dibutuhkan seperti nama, jenis kelamin, umur, pekerjaan dan jumlah keluarga penduduk negarannya. Mendekati pertengahan abad XX, antara tahun 1918-1935, pemakaian statistika mengalami kemajuan yang sangat pesat. Hal ini dipelopori oleh “r.Fisher” yang memperkenalkan analisis variasi dalam literature statistika.

B.     Pengertian Dasar Statistika

Perhatikan situasi sederhana berikut!

Bima diminta Pak Guru mencatat warna favorit semua siswa dikelasnya. Lalu dia mengedarkan secarik kertas dan meminta teman-temannya menuliskanwarna favorit mereka dikertas tersebut.

Bima menyajikan informasi yang diperoleh dengan menggunakan diagram

Warna-warna yang menunjukkan inforamsi yang diperolaeh disebut data statistika, atau secara singkat disebut data.

Kita dapat melihat bahwa statistika berhubungan dengan empat hal, yaitu :

1.   Pengumpulan data,

2.   Pengorganisasian data,

3.   Penyajian data, dan

4.   Penafsiran data.

Data statistik bisa diperoleh dengan cara-cara berikut :

Wawancara kepada beberapa orang tentang pandangannya terhadap program baru yang ditayangkan sebuah tv swasta.

C.  Jenis-jenis Data

Menurut jenisnya, dibagi dua  yaitu data kuantitatif dan data kualitatif.

Data kuantitatif adalah data yang dipeeoleh dari hasil mengukur atau menghitung. Contohnya data nilai ulangan metematika siswa kelas XIA, data tinggi badan seluruh anggota, atau data waktu yang dicapai para pembalap F1 untuk menyelasikan seluruh putaran selalu berupa bilangan.

Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang dimiliki obyek yang diteliti. Biasanya data kualitatif tidak dapat dituliskan dalam bentuk bilangan. Contohnya data pendapat masyarakat terhadap kinerja pemerintah. Cata kualitatif bisa disebut data kategori.

D.  Statistika  dan Statistik

Dua kata yang sangat mirip ini memiliki hubungan yang sangat erat. Ketika kita mengatakan “statistika”, maka kita membicarakan satu cabang matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.

Statistik adalah segala inforamsi yang bisa kita dapatkan dari data. Untuk mempeoleh statistic maka kita harus mengunakan statistika. Berdasarkan kebutuhan terhadap pengolah data statistik dibagi dua :

  1. Statistik deskriptif, yaitu segala informasi yang bisa menggambarkan data yang diperoleh.
  2. Statistik inferensi, yaitu statistic yang diperoleh dari data yang ada, dan digunakan untuk menarik kesimpulan tentang populasi objek yang lebih besar.

E.  Populasi dan Sampel

Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta pembicaraan), sementara sebagainpopulasi yang benar-benar diambil datanya dan dibuat statistiknya disebut sampel.

F.   Data Tunggal

Suatu statistika dikatakan data tunggal jika banyak variabel yang diteliti hanya satu. variabel adalah data yang ingin diketahui dari setiap objek poupulasi.

  1. Pemeriksaan data.

Data yang diambil harus diperiksa sebelum diolah. Data harus sesuai dengan kondisi yang sebenarnya. Ingat bahwa datum yang slah dalam data akan mempengaruhi perhitungan dan hasil-hasil pengolahan data.

  1. Pembulatan Data

Beberapa aturan pembulatan data sebagai berikut :

  • Angka lebih dari 5 dibulatkan jadi 10 pada tempatnya. Artinya angka yang mendahuluinya ditambah 1 pada tempatnya.
  • Angka kurang dari 5 dibulatkan jadi 0 pada tmpatnya. Artinya angka yang mendahuluinya tetap.
  • Angka sama dengan 5 dibulatkan jadi 0 jika angka yang mendahuluinya ganjil. Dengan demikian hasil pembulatan selalu genap, aturan terakhir ini disebut aturan genap terdekat.

325,4 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 325.

325,4999 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 325.

325,51 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 326.

327,39 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 327,4.

  1. Penyusunan Data.

Dalam statistika, data sebaiknya diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar, atau sebaliknya. Hal ini dilakukan untuk memudahkan penyajian dan analisis data. Data nilai 3 5 7 8 4 2 1 8 6 6 3 2 9 diurutkan menjadi     1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9.

  1. Data terbesar, terkecil.

Sekali data telah terurut maka dengan mudah kita menentukan nilai data terbesar dan data terkecil.

Pada data 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 data terkecilnya adalah 1 dan data terbesarnya adalah 9.

Median adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian yang sama banyAK

Kuartil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seperempat-seperempat bagian. Untuk membagi data menjadi empat bagian sama besar kita memerlukan tiga sekat.

GAMBAR DIAGRAM -DIAGRAM

0

OPERASI HITUNG BILANGAN PECAHAN

 

1.    PECAHAN BIASA

 

Penjumlahan

 

Penyebut tidak sama nilainya :

 

a   +  b     =  (a x m)  + (b x n)

n      m                    n x m

 

 

Penyebut sama nilainya :

 

a   +  b     =  a + b

n       n            n

 

 

Contoh :

 

1.   3  +  4   =  3  + 4   =  7   =   1  2

5       5           5          5             5

 

2.      3  +  1  =  (3 X 5) + (1 X 4)   =  19

4      5              4 X 5                  20

 

 

Pengurangan

 

 

Contoh  :

 

1.   7  –  5  =  7 – 5  =  2

      8      8         8          8

 

2.      5  –  3  =  (5 X 4) – (3 X 6)  =   2 

6     4               6 X 4                24

 

 

Perkalian

 

a  x  c          =  a  x  c

b     d     b x  d

 

Contoh :

 

1.  2  X  4  =    8

3       5       15

 

2.      12  x  10  =  120

20      15      300

 

 

Pembagian

 

a  :  c   =  a  x  d

b     d       b      c

 

Contoh :

 

1.      3  :  2  =  3  X  5  =  15  =  1  7

4     5       4      2        8           8

 

2.  1  :  7  =  1  X  8  =   8

3      8      3      7      21

 

 

Catatan :  untuk menyamakan penyebut pada penjumlahan dan pengurangan dapat digunakan KPK dari kedua penyebut tersebut.

 

 

2. PECAHAN CAMPURAN

 

Rumusnya sama dengan pecahan biasa, hanya langkah pertama adalah mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa.

 

PERSEN

 

Penjumlahan

 

a %  +  b %  =  (a + b) %

 

 

 

 

Contoh :

 

1.      25 %  +  30 %  =  55 %

2.      15 %  +  12  %  =  27 %

 

 

Pengurangan

 

a %  –  b %  =  (a – b) %

 

Contoh :

 

1.      45 %  – 20 %  =  25 %

2.      60 %  – 15 %  =  45 %

 

 

Perkalian

 

a  % x  b    =  (a x b) %

Rumus :

 

 

 

Contoh :

 

1.      20 % X 15 =  300 %

2.      25 % X 4   =  100 %

 

 

Pembagian

 

a % :  b    =  (a : b) %

 

Contoh :

 

1.      60 %  :  5  =  12 %

2.      84 %  :  3  =  28 %

 

 

 

PERMIL

 

Penjumlahan

 

a ‰  +  b ‰  =  (a + b) ‰

Contoh :

 

1.      254 ‰  +  130 ‰  =  384 ‰

2.      500 ‰  +  125 ‰  =  625 ‰

 

 

Pengurangan

 

a ‰  –  b ‰  =  (a – b) ‰

Contoh :

 

1.      450 ‰  – 120 ‰  =  330 ‰

2.      700 ‰  – 250 ‰  =  450 ‰

 

 

Perkalian

 

a  ‰ x  b    =  (a x b) ‰

Contoh :

 

1.      150 ‰ X 2   =  300 ‰

2.      400 ‰ X 3   =  1.200 ‰

 

 

Pembagian

 

a ‰ :  b    =  (a : b) ‰

Rumus   :

 

 

 

Contoh :

 

1.      600 ‰  :  5  =  120 ‰

2.      840 ‰  :  30  =  28 ‰

 

 

 

3.     PECAHAN DESIMAL

 

Operasi hitung pecahan desimal sama dengan operasi hitung bilangan bulat.  Hanya saja perlu diperhatikan letak dari tanda koma (,)

 

 

 

Penjumlahan dan Pengurangan

  • Dengan menggunakan cara bersusun pendek.
  • Letak masing-masing bilangan disesuaikan dengan nilai tempatnya.
  • Tanda koma (,) bilangan pertama sejajar dengan tanda koma bilangan kedua dst.

 

Contoh :

 

   0,85      0,80     45,675     54,08
   0,61  +      0,65  –      2, 34   +       2,525  –
   1,46      0,15    48,015    51,555

 

Perkalian

  • Dengan menggunakan cara bersusun pendek.
  • Jumlah angka di belakang koma dari hasil perkalian adalah jumlah angka dibelakang koma bilangan pertama ditambah jumlah angka dibelakang koma bilangan kedua.

 

 

 

Contoh :

 

1.  0,75  X 2,6  =   1,95 (jumlah angka di belakang koma adalah 2 angka)

2.  24,625  X  2,13  =  52,45125 (jumlah angka di belakang koma adalah 5 angka)

 

Pembagian

  • Dengan menggunakan cara bersusun.
  • Jumlah angka di belakang koma dari hasil pembagian adalah jumlah angka dibelakang koma bilangan pertama dikurang jumlah angka dibelakang koma bilangan kedua.

 

Contoh :

 

  1. 8,4  :  0.2  =  42
  2. 1,15  :  0,5  =  2,3

 

 

CATATAN PENTING

SEMUA OPERASI HITUNG DARI JENIS PECAHAN APAPUN DAPAT DILAKUKAN DENGAN MENGUBAH JENIS PECAHAN TERSEBUT MENJADI PECAHAN BIASA  TERLEBIH DAHULU UNTUK KEMUDIAN DILAKUKAN OPERASI HITUNG.

Bilangan Romawi

0

BILANGAN ROMAWI

 

ANGKA DASAR BILANGAN ROMAWI

 

1

I

5

V

10

X

50

L

100

C

500

D

1.000

M

5.000

V

10.000

X

50.000

L

100.000

C

 

 

Ketentuan dalam menulis lambang bilangan Romawi

 

  1. Lambang yang sama hanya boleh ditulis berurutan sebanyak 3 kali.

Contoh :

                3      =      III

                30     =      XXX

                40 tidak boleh ditulis XXXX

 

  1. Nilai dari lambang yang di sebelah kanan lebih kecil dari lambang yang di sebelah kiri berarti penjumlahan.

Contoh :

                VIII   =  artinya   5  +  3    =  8

                XV    =  artinya   10  +  5  =  15

                LVII  =  artinya   50  +  5  +  2  =  57

                CXXV       =  artinya   100  +  20   +  5  =  125

 

  1. Nilai lambang yang di sebelah kiri lebih kecil dari lambang yang di sebelah kanan berarti pengurangan.

Contoh :

                IV     =  artinya     5 – 1  =  4

                IX     =  artinya   10  – 1  =  9

                XL    =  artinya   50  – 10  =  40

 

  1. V dan X hanya boleh dikurangi oleh I satu kali.

Contoh :

                IV     =  artinya   5 – 1          =  4

                IX     =  artinya   10 – 1  =  9

                Tidak boleh ditulis IIV atau IIX

 

  1. L hanya dapat dikurangi oleh X satu kali.

Contoh

                        XL    =  artinya   50  –  10  =  40

                        Tidak boleh ditulis XXL atau XXXL